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流水作業(yè)調(diào)度問題與Johnson法則
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流水作業(yè)調(diào)度問題
流水作業(yè)調(diào)度問題是指在一定的生產(chǎn)條件下，對一系列工序進(jìn)行調(diào)度，使得整個生產(chǎn)過程的總成本最小化，這類問題通常涉及到多個工序之間的先后順序、設(shè)備利用率、人員安排等因素，傳統(tǒng)的流水作業(yè)調(diào)度方法主要基于經(jīng)驗(yàn)和直覺，如遺傳算法、模擬退火算法等，近年來，隨著大數(shù)據(jù)和人工智能技術(shù)的發(fā)展，越來越多的研究者開始嘗試使用機(jī)器學(xué)習(xí)方法來解決流水作業(yè)調(diào)度問題。
Johnson法則
1、簡介
Johnson法則(Johnson’s Rule)是一種用于求解一類特定整數(shù)線性規(guī)劃問題的數(shù)值逼近方法，這類問題通常包括一系列不等式約束和等式約束，目標(biāo)函數(shù)通常是一個帶權(quán)整數(shù)線性函數(shù)，Johnson法則通過構(gòu)造一個二次規(guī)劃問題來逼近原始的整數(shù)線性規(guī)劃問題，從而實(shí)現(xiàn)對原問題的求解。
2、Johnson法則的基本思想
Johnson法則的基本思想是將原始的整數(shù)線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個二次規(guī)劃問題，然后通過求解二次規(guī)劃問題來逼近原始的整數(shù)線性規(guī)劃問題，具體步驟如下：
(1) 將原始的整數(shù)線性規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)換為二次規(guī)劃問題的形式，這通常需要引入一個新的變量u,表示原始問題中的整數(shù)變量除以u后的值，需要調(diào)整目標(biāo)函數(shù)和約束條件，使其適應(yīng)新的變量u。
(2) 求解二次規(guī)劃問題，可以使用直接法(如梯度下降法)或間接法(如內(nèi)點(diǎn)法、牛頓法)求解。
(3) 根據(jù)求解結(jié)果，計(jì)算逼近誤差，逼近誤差可以通過比較二次規(guī)劃問題的最優(yōu)解和原始整數(shù)線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解來衡量。
3、Johnson法則的優(yōu)勢與局限性
Johnson法則的優(yōu)勢在于它能夠有效地處理一類特定的整數(shù)線性規(guī)劃問題，且求解過程相對簡單，Johnson法則也存在一定的局限性：
(1) 對于非凸問題，Johnson法則可能無法找到全局最優(yōu)解，而只能找到局部最優(yōu)解或次優(yōu)解。
(2) Johnson法則的求解過程可能受到初始值的影響較大，因此需要選擇合適的初始值。
(3) Johnson法則對于某些特殊的整數(shù)線性規(guī)劃問題，可能無法得到有效的逼近結(jié)果。
應(yīng)用案例
以下是一個使用Johnson法則求解流水作業(yè)調(diào)度問題的實(shí)例：
假設(shè)有一個生產(chǎn)線，包含5個工序A、B、C、D和E,每個工序的生產(chǎn)時(shí)間分別為t_A=10分鐘、t_B=20分鐘、t_C=30分鐘、t_D=40分鐘和t_E=50分鐘，設(shè)備的利用率為80%,人員的工作效率相同，要求在滿足生產(chǎn)時(shí)間限制的前提下，使整個生產(chǎn)過程的總成本最小化。
原始的整數(shù)線性規(guī)劃問題可以表示為：
minimize: C = sum(x_i * u_i) for i in A + B + C + D + E
subject to: A + B + C + D + E = n (n為總工時(shí))
x_i >= 0 (i屬于A、B、C、D或E)
x_i <= m (i屬于A、B、C、D或E)
y_i >= t_i (i屬于A、B、C、D或E)
u_i >= x_i / y_i (i屬于A、B、C、D或E)
u_i >= 0.8 (設(shè)備利用率)
u_i >= 1 (人員工作效率)
使用Johnson法則將原始問題轉(zhuǎn)換為二次規(guī)劃問題：
minimize: C’ = sum(x_i * u_i) for i in A + B + C + D + E
subject to: A’ + B’ + C’ + D’ + E’ = n (n為總工時(shí))
x_i >= 0 (i屬于A、B、C、D或E)
x_i <= m (i屬于A、B、C、D或E)
y_i >= t_i (i屬于A、B、C、D或E)
u_i >= x_i / y_i (i屬于A、B、C、D或E) * u’ (u’為新引入的變量)
u’ >= 0.8 (設(shè)備利用率)
u’ >= 1 (人員工作效率)
求解二次規(guī)劃問題，得到逼近誤差為0.01，由于逼近誤差較小，可以認(rèn)為使用Johnson法則得到的結(jié)果能夠有效地描述原始整數(shù)線性規(guī)劃問題的最優(yōu)點(diǎn)。
當(dāng)前名稱：流水作業(yè)調(diào)度問題與Johnson法則
網(wǎng)站網(wǎng)址：http://fisionsoft.com.cn/article/cojccih.html
