15. 浮點算術(shù)：爭議和限制

Floating-point numbers are represented in computer hardware as base 2 (binary) fractions. For example, the decimal fraction 0.125 has value 1/10 + 2/100 + 5/1000, and in the same way the binary fraction 0.001 has value 0/2 + 0/4 + 1/8. These two fractions have identical values, the only real difference being that the first is written in base 10 fractional notation, and the second in base 2.

成都創(chuàng)新互聯(lián)公司：從2013年創(chuàng)立為各行業(yè)開拓出企業(yè)自己的“網(wǎng)站建設(shè)”服務(wù)，為千余家公司企業(yè)提供了專業(yè)的成都做網(wǎng)站、網(wǎng)站設(shè)計、網(wǎng)頁設(shè)計和網(wǎng)站推廣服務(wù)， 按需定制由設(shè)計師親自精心設(shè)計，設(shè)計的效果完全按照客戶的要求，并適當?shù)奶岢龊侠淼慕ㄗh，擁有的視覺效果，策劃師分析客戶的同行競爭對手，根據(jù)客戶的實際情況給出合理的網(wǎng)站構(gòu)架，制作客戶同行業(yè)具有領(lǐng)先地位的。

不幸的是，大多數(shù)的十進制小數(shù)都不能精確地表示為二進制小數(shù)。這導(dǎo)致在大多數(shù)情況下，你輸入的十進制浮點數(shù)都只能近似地以二進制浮點數(shù)形式儲存在計算機中。

用十進制來理解這個問題顯得更加容易一些?？紤]分數(shù) 1/3 。我們可以得到它在十進制下的一個近似值

 
 
 
 

  
  
  
  
0.3
 
 
 
 

或者，更近似的，:

 
 
 
 

  
  
  
  
0.33
 
 
 
 

或者，更近似的，:

 
 
 
 

  
  
  
  
0.333
 
 
 
 

以此類推。結(jié)果是無論你寫下多少的數(shù)字，它都永遠不會等于 1/3 ，只是更加更加地接近 1/3 。

同樣的道理，無論你使用多少位以 2 為基數(shù)的數(shù)碼，十進制的 0.1 都無法精確地表示為一個以 2 為基數(shù)的小數(shù)。 在以 2 為基數(shù)的情況下， 1/10 是一個無限循環(huán)小數(shù)

 
 
 
 

  
  
  
  
0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...
 
 
 
 

在任何一個位置停下，你都只能得到一個近似值。因此，在今天的大部分架構(gòu)上，浮點數(shù)都只能近似地使用二進制小數(shù)表示，對應(yīng)分數(shù)的分子使用每 8 字節(jié)的前 53 位表示，分母則表示為 2 的冪次。在 1/10 這個例子中，相應(yīng)的二進制分數(shù)是 3602879701896397 / 2 ** 55 ，它很接近 1/10 ，但并不是 1/10 。

大部分用戶都不會意識到這個差異的存在，因為 python 只會打印計算機中存儲的二進制值的十進制近似值。在大部分計算機中，如果 Python 想把 0.1 的二進制對應(yīng)的精確十進制打印出來，將會變成這樣

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> 0.1
  
  
  
  
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
 
 
 
 

這比大多數(shù)人認為有用的數(shù)字更多，因此Python通過顯示舍入值來保持可管理的位數(shù)

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> 1 / 10
  
  
  
  
0.1
 
 
 
 

牢記，即使輸出的結(jié)果看起來好像就是 1/10 的精確值，實際儲存的值只是最接近 1/10 的計算機可表示的二進制分數(shù)。

有趣的是，有許多不同的十進制數(shù)共享相同的最接近的近似二進制小數(shù)。例如， 0.1 、 0.10000000000000001 、 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 全都近似于 3602879701896397 / 2 ** 55 。由于所有這些十進制值都具有相同的近似值，因此可以顯示其中任何一個，同時仍然保留不變的 eval(repr(x)) == x 。

在歷史上，Python 提示符和內(nèi)置的 repr() 函數(shù)會選擇具有 17 位有效數(shù)字的來顯示，即 0.10000000000000001。 從 Python 3.1 開始，Python（在大多數(shù)系統(tǒng)上）現(xiàn)在能夠選擇這些表示中最短的并簡單地顯示 0.1 。

請注意這種情況是二進制浮點數(shù)的本質(zhì)特性：它不是 Python 的錯誤，也不是你代碼中的錯誤。 你會在所有支持你的硬件中的浮點運算的語言中發(fā)現(xiàn)同樣的情況（雖然某些語言在默認狀態(tài)或所有輸出模塊下都不會 顯示 這種差異）。

想要更美觀的輸出，你可能會希望使用字符串格式化來產(chǎn)生限定長度的有效位數(shù):

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> format(math.pi, '.12g') # give 12 significant digits
  
  
  
  
'3.14159265359'
  
  
  
  
  
  
  
  
>>> format(math.pi, '.2f') # give 2 digits after the point
  
  
  
  
'3.14'
  
  
  
  
  
  
  
  
>>> repr(math.pi)
  
  
  
  
'3.141592653589793'
 
 
 
 

必須重點了解的是，這在實際上只是一個假象：你只是將真正的機器碼值進行了舍入操作再 顯示 而已。

一個假象還可能導(dǎo)致另一個假象。 例如，由于這個 0.1 并非真正的 1/10，將三個 0.1 的值相加也不一定能恰好得到 0.3:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> .1 + .1 + .1 == .3
  
  
  
  
False
 
 
 
 

而且，由于這個 0.1 無法精確表示 1/10 的值而這個 0.3 也無法精確表示 3/10 的值，使用 round() 函數(shù)進行預(yù)先舍入也是沒用的:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
  
  
  
  
False
 
 
 
 

雖然這些小數(shù)無法精確表示其所要代表的實際值，round() 函數(shù)還是可以用來“事后舍入”，使得實際的結(jié)果值可以做相互比較:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
  
  
  
  
True
 
 
 
 

二進制浮點運算會造成許多這樣的意外。 有關(guān) “0.1” 的問題會在下面的 “表示性錯誤” 一節(jié)中更精確詳細地描述。 請參閱 浮點數(shù)的危險性 了解有關(guān)其他常見意外現(xiàn)象的更完整介紹。

正如那篇文章的結(jié)尾所言，“對此問題并無簡單的答案。” 但是也不必過于擔(dān)心浮點數(shù)的問題！ Python 浮點運算中的錯誤是從浮點運算硬件繼承而來，而在大多數(shù)機器上每次浮點運算得到的 2**53 數(shù)碼位都會被作為 1 個整體來處理。 這對大多數(shù)任務(wù)來說都已足夠，但你確實需要記住它并非十進制算術(shù)，且每次浮點運算都可能會導(dǎo)致新的舍入錯誤。

雖然病態(tài)的情況確實存在，但對于大多數(shù)正常的浮點運算使用來說，你只需簡單地將最終顯示的結(jié)果舍入為你期望的十進制數(shù)值即可得到你期望的結(jié)果。 str() 通常已足夠，對于更精度的控制可參看 格式字符串語法 中 str.format() 方法的格式描述符。

對于需要精確十進制表示的使用場景，請嘗試使用 decimal 模塊，該模塊實現(xiàn)了適合會計應(yīng)用和高精度應(yīng)用的十進制運算。

另一種形式的精確運算由 fractions 模塊提供支持，該模塊實現(xiàn)了基于有理數(shù)的算術(shù)運算（因此可以精確表示像 1/3 這樣的數(shù)值）。

如果你是浮點運算的重度用戶則你應(yīng)當了解一下 NumPy 包以及由 SciPy 項目所提供的許多其他數(shù)字和統(tǒng)計運算包。 參見 。

Python 也提供了一些工具，可以在你真的 想要 知道一個浮點數(shù)精確值的少數(shù)情況下提供幫助。 例如 float.as_integer_ratio() 方法會將浮點數(shù)表示為一個分數(shù):

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> x = 3.14159
  
  
  
  
>>> x.as_integer_ratio()
  
  
  
  
(3537115888337719, 1125899906842624)
 
 
 
 

由于這是一個精確的比值，它可以被用來無損地重建原始值:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
  
  
  
  
True
 
 
 
 

float.hex() 方法會以十六進制（以 16 為基數(shù)）來表示浮點數(shù)，同樣能給出保存在你的計算機中的精確值:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> x.hex()
  
  
  
  
'0x1.921f9f01b866ep+1'
 
 
 
 

這種精確的十六進制表示法可被用來精確地重建浮點值:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
  
  
  
  
True
 
 
 
 

由于這種表示法是精確的，它適用于跨越不同版本（平臺無關(guān)）的 Python 移植數(shù)值，以及與支持相同格式的其他語言（例如 Java 和 C99）交換數(shù)據(jù).

另一個有用的工具是 math.fsum() 函數(shù)，它有助于減少求和過程中的精度損失。 它會在數(shù)值被添加到總計值的時候跟蹤“丟失的位”。 這可以很好地保持總計值的精確度， 使得錯誤不會積累到能影響結(jié)果總數(shù)的程度:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
  
  
  
  
False
  
  
  
  
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
  
  
  
  
True
 
 
 
 

15.1. 表示性錯誤

本小節(jié)將詳細解釋 “0.1” 的例子，并說明你可以怎樣親自對此類情況進行精確分析。 假定前提是已基本熟悉二進制浮點表示法。

表示性錯誤 是指某些（其實是大多數(shù)）十進制小數(shù)無法以二進制（以 2 為基數(shù)的計數(shù)制）精確表示這一事實造成的錯誤。 這就是為什么 Python（或者 Perl、C、C++、Java、Fortran 以及許多其他語言）經(jīng)常不會顯示你所期待的精確十進制數(shù)值的主要原因。

為什么會這樣？ 1/10 是無法用二進制小數(shù)精確表示的。 目前（2000年11月）幾乎所有使用 IEEE-754 浮點運算標準的機器以及幾乎所有系統(tǒng)平臺都會將 Python 浮點數(shù)映射為 IEEE-754 “雙精度類型”。 754 雙精度類型包含 53 位精度，因此在輸入時，計算會盡量將 0.1 轉(zhuǎn)換為以 J/2**N 形式所能表示的最接近分數(shù)，其中 J 為恰好包含 53 個二進制位的整數(shù)。 重新將

 
 
 
 

  
  
  
  
1 / 10 ~= J / (2**N)
 
 
 
 

寫為

 
 
 
 

  
  
  
  
J ~= 2**N / 10
 
 
 
 

并且由于 J 恰好有 53 位 (即 >= 2**52 但 < 2**53)，N 的最佳值為 56:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> 2**52 <= 2**56 // 10 < 2**53
  
  
  
  
True
 
 
 
 

也就是說，56 是唯一的 N 值能令 J 恰好有 53 位。 這樣 J 的最佳可能值就是經(jīng)過舍入的商:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> q, r = divmod(2**56, 10)
  
  
  
  
>>> r
  
  
  
  
6
 
 
 
 

由于余數(shù)超過 10 的一半，最佳近似值可通過四舍五入獲得:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> q+1
  
  
  
  
7205759403792794
 
 
 
 

這樣在 754 雙精度下 1/10 的最佳近似值為:

 
 
 
 

  
  
  
  
7205759403792794 / 2 ** 56
 
 
 
 

分子和分母都除以二則結(jié)果小數(shù)為:

 
 
 
 

  
  
  
  
3602879701896397 / 2 ** 55
 
 
 
 

請注意由于我們做了向上舍入，這個結(jié)果實際上略大于 1/10；如果我們沒有向上舍入，則商將會略小于 1/10。 但無論如何它都不會是 精確的 1/10！

因此計算永遠不會“看到”1/10：它實際看到的就是上面所給出的小數(shù)，它所能達到的最佳 754 雙精度近似值:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> 0.1 * 2 ** 55
  
  
  
  
3602879701896397.0
 
 
 
 

如果我們將該小數(shù)乘以 10**55，我們可以看到該值輸出為 55 位的十進制數(shù):

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
  
  
  
  
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
 
 
 
 

這意味著存儲在計算機中的確切數(shù)值等于十進制數(shù)值 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625。 許多語言（包括較舊版本的 Python）都不會顯示這個完整的十進制數(shù)值，而是將結(jié)果舍入為 17 位有效數(shù)字:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> format(0.1, '.17f')
  
  
  
  
'0.10000000000000001'
 
 
 
 

fractions 和 decimal 模塊可令進行此類計算更加容易:

 
 
 
 

  
  
  
  
>>> from decimal import Decimal
  
  
  
  
>>> from fractions import Fraction
  
  
  
  
  
  
  
  
>>> Fraction.from_float(0.1)
  
  
  
  
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)
  
  
  
  
  
  
  
  
>>> (0.1).as_integer_ratio()
  
  
  
  
(3602879701896397, 36028797018963968)
  
  
  
  
  
  
  
  
>>> Decimal.from_float(0.1)
  
  
  
  
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')
  
  
  
  
  
  
  
  
>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
  
  
  
  
'0.10000000000000001'
 
 
 
 

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